Když jsme před dvěma týdny zadali soutěžní otázku "Prokoukněte trik s kartami", byli jsme opravdu zvědaví, jak si povedete. Hádanka s letadlem ukázala, že podobné hádanky naleznou na internetu živnou půdu velice snadno. Podobně, jako u letadla na běžícím pásu, i zde jsme na český internet importovali hádanku v cizině bezmála legendární (známou především díky TV soutěži Monty Hall). I proto jsme věděli, že přes matematickou ověřitelnost se najde mnoho lidí, kteří se nechají nachytat. Jak si vedli čtenáři Technetu?
Zadání soutěžeÚčastníte se soutěže Žolík tě ožulí. Postoupili jste do finále a v banku máte nemalý obnos. Musíte jej ale vyhrát v závěrečné hře, jinak odejdete domů s prázdnou. Moderátor vás přivede ke stolu, na kterém jsou tři karty, obrácené lícem ke stolu, takže nevidíte, jaký symbol na nich je. Ví to moderátor, ale je to profesionál a nemáte šanci to z něj dostat. Dozvíte se ale, že jedna z těch karet je srdcové eso, ostatní dvě jsou žolíci. Vyberete-li si eso, vyhráváte celý svůj bank. Žolík vás naopak pošle domů s prázdnou. Po krátkém rozmýšlení na jednu z karet ukážete a moderátor ji označí jako vybranou. Tím ale vaše trápení nekončí. Moderátor otočí jinou kartu, než kterou jste si vybrali. Je na ní žolík. Moderátor vám nyní nabídne poslední možnost své rozhodnutí změnit. Můžete trvat na svém rozhodnutí, nebo svůj výběr zrušit a vybrat si druhou neotočenou kartu. Je to jen na vás. Jak se rozhodnete? Co je pro vás z hlediska pravděpodobnosti výhodnější? Předpokládáme, že karty jsou zamíchány zcela náhodně a že moderátor takto jedná při každé hře, tedy pokaždé otočí kartu, kterou jste si nevybrali, a na ní bude žolík. Tření zanedbáme. |
Za úspěšnou odpověď považujeme takovou, kdy odpovídající nejen zodpoví otázku,
-
Budu trvat na svém rozhodnutí.
-
Změním své rozhodnutí.
-
Je jedno, jak se rozhodnu. Na výsledek to nebude mít vliv.
-
Nelze určit správné řešení.
ale své rozhodnutí také patřičně zdůvodní. Proč je právě vaše volba pravděpodobnostně nejvýhodnější?
Odpovědi
Celkem se soutěže zůčastnilo cca 1345 čtenářů (duplicity jsme vyřazovali svědomitě, a to jak automaticky, tak ručně). Ještě vás budu chvilku napínat a ukážu vám zcela zbytečný a nezajímavý graf toho, jak přicházely odpovědi v čase, hodinu po hodině.
Odpovědi byly méně jednoznačné, než tomu bylo u letadla. Tenkrát dvě třetiny soutěžících zvolily nesprávnou variantu. Tentokrát byla největší kategorie jen o kousek větší, než polovina:
Asi už nemá cenu vás déle napínat. Zelená barva samozřejmě reprezentuje správnou odpověď: Vyplatí se změnit rozhodnutí, tedy vyplatí se vybrat si druhou zbývající kartu, ne tu, na kterou jsem ukázal poprvé. Vysvětlení necháme na čtenářích:
ŘešeníPokud jsem v prvním kole kartu vybral náhodně, pak pravděpodobnost, že je na ní eso je 1/3. Tato pravděpodobnost se samozřejmě nezmění tím, jakou kartu moderátor odkryje. Tím pádem je zřejmé, že pokud změním své rozhodnutí, pak pravděpodobnost mé výhry bude 2/3, zatímco pokud bych své rozhodnutí ponechal, pak by pravděpodobnost výhry byla jen 1/3. Petr K. (láhev vína) Pravděpodobnost, že ze všech tří karet vyberu srdcové eso je 1/3. Pokud bych trval na své odpovědi i po odhalení jednoho z žolíků moderátorem, nemá jeho nápověda na mé rozhodnutí žádný vliv. Pravděpodobnost, že jsem zvolil srdcové eso tedy zůstává 1/3. Pravděpodobnost, že ze všech tří karet zvolím žolíka je 2/3. Druhého žolíka mi svou nápovědou odhalí moderátor. Pokud se tedy rozhodnu změnit své rozhodnutí, bude pravděpodobnost, že vybraná karta je srdcové eso stejná, jako pravděpodobnost, že jsem na počátku zvolil žolíka, tedy 2/3.////A protože pravděpodobnost 2/3 je větší než pravděpodobnost 1/3, volím možnost Změním své rozhodnutí. Petr M. (láhev vína) Je to jednoduché, ačkoli mnoho lidí bude obhajovat, že to je jedno -50/50 není to tak...vždy je výhodnější změnit své rozhodnutí. Pravděpobodbnost, že jsem eso uhádl napoprvé je totiž nižší(1/3) než, že jsem ho neuhádl(2/3). Změnou rozhodnutí zvyšuji šanci na výhru. Je dobré představit si 100 karet a v nich jen jedno eso. Vyberu si jednu kartu a krupiér otočí 98 žolíků. Je zřejmé že změním své rozhodnutí, protože pravděpodobnost, že jsem uhádl správnou kartu původně je 1/100, kdežto změnou rozhodnutí dosáhnu 99/100.Zkuste si to sami :) Mirek P. (hlavní výhra - MP3 přehrávač Samsung K3 2GB) Výherce jsme losovali náhodně ze všech správných odpovědí. Během příštího týdne je budeme kontaktovat e-mailem a dohodneme se na předání cen. |
Je to jasné?
Jak je vidět, opět se jedná o dvojitý chyták. Naštěstí tentokrát je možné výsledky snadno ověřit. Tak jdeme na to. Slíbili jsme nehynoucí slávu tomu, kdo nabídne nejpochopitelnější vysvětlení. Bylo vás více, ostatně i třeba vysvětlení Petra M. citované výše je celkem návodné.
Štěpán Weber zase pro nás přepracoval diagram z české Wikipedie:
Vyplývá z něj, že na začátku si můžete vybrat eso nebo žolíka. Šance na výběr esa je 1/3. Jasné, že? No a pokud změníte své rozhodnutí, tak vlastně měníte to, co na vaší kartě je. Pokud jste si na začátku vybrali žolíka, máte po změně názoru eso. Pokud jste si na začátku vybrali eso, máte po změně názoru žolíka. Takže je evidentní, že změna názoru je správná strategie, neboť přináší úspěch ve dvou třetinách případů.
Špatné odpovědi
Některé ze zajímavých špatných odpovědí:
-
Původní pravděpodobnost 1/3 se po odebrání karty změní na pravděpodobnost 1/2. Pokd bych rozhodnutí nezměnil, tak de facto zůstávám v té původní pravděpodobnosti. V okamžiku kdy své rozhodnutí změním, tak už vybírám pouze ze dvou neznámých karet a tím mám vyšší pravděpodobnost na výhru.
-
Radovan Š. sice zaškrtl správnou možnost, ale uvedl špatné pravděpodobnosti. Není to 1/2, ale 2/3.
-
-
Statistika neplatí pro malý počet vzorků či opakování...tím pádem pokud zbydou dvě karty je pravděbodnost že jsem zvolil špatnou kartu stejná stejně jako pravděpodobnost že jsem volil správně. Prostě je to 50 na 50.
-
Nejčastější špatná odpověď... Ale pravděpodobnost není 50:50. Na začátku vybíráte ze tří karet, takže je třetinová šance, že jste prstem ukázal na eso. V tu chvíli je tedy dvoutřetinová šance, že neukazujete na eso. A tato pravděpodobnost se nezmění, ani když moderátor představí novou informaci, protože tu se dozvíte až po svém výběru. Takže: pokud necháte prst tam, kde jste jej měli, bude šance pořád jen jedna třetina. Pokud změníte na druhou zbývající možnost, musí být šance doplněk do celku, tedy dvě třetiny.
-
-
Pokud zanedbáme tření jak píšete v závěru, vše se bude nekontrolovaně pohybovat, já moderátor i karty... Takže já nehraju
-
Kdybych mohl, tak tuhle odpověď ocením zatou medailí, takto alespoň děkuji Danielovi B. za jeho smysl pro humor
-
-
Protože podle Nashovy "Nobelovské" teorie jsou subjekty předem rozhodnuty, které řešení zvolí, a žádná další změna okolností na jejich rozhodnutí prostě nemá vliv, bez ohledu, zda stoupla nebo klesla míra pravděpodobnosti (a to zdaleka nejsem ekonom :-P ). I když na druhou stranu se jedná o hru s nulovým součtem, takže šance je stále 50/50 :-), rozhodnutí nezměním.
-
Neberte Nashovo jméno nadarmo, Michale...
-
-
Ze skusenosti (sic!) vim, ze prvni volba byva spravna.
-
Ehm
-
-
Jde o variantu systému se Schroedingerovou kočkou - o výsledku nemám informaci, dokud neotevřu box (neotočím další kartu). Šance je nyní 50:50. Je to sice vyšší šance, než na začátku se třemi kartami, ale vzhledem k tomu, že se začíná opět od začátku, tak je jedno, jestli změním nebo potvrdím své rozhodnutí.
-
OK, the cat's alive, let's go to dinner. Někdy se Schrödingerova kočka hodí, tentokrát tak úplně ne.
-
-
Na počátku při výběru jedné karty ze tří je pravděpodobnost 2/3, že je na vybrané kartě žolík.
-
Pan Karel T. má v tomto pravdu. Bohužel, jak mi později mailem přiznal, v zadání přehlédl, že žolík je prohra, a tak zaškrtl špatnou možnost - trvat na svém.
-
-
Své rozhodnutí nezměním. Mezi férovymi a profesionálnimi hrači to tak prostě chodí.
-
To je odpověď chlapa, Martine. Bohužel špatná.
-
-
Volba po eliminaci jednoho žolíka vždy zůstane pravděpodobnost vítězství a prohry 50% : 50%. Empiricky jsem opakovaně vyzkoušel všechny varianty rozdání u nich všechny varianty označení karty a u všech zvolil rozhodnutí o ponechání volby i změnu volby. Vždy bylo dosaženo naprosto shodného počtu vítězství i proher.
-
Eliminace, empirie... Zkuste to vyzkoušet ještě párkrát, pane Vladimíre. Nebo naprogramujte počítač, ať to zkouší. Vlastně to není ani tak těžké. Jestli jste to opravdu zkoušel, tak víte, že pokud je strategie "měnit", pak vybíráte jednu kartu ze tří, pokud "neměnit", pak dvě karty ze tří.
-
-
To s tím letadlem bylo podstatně lepší. Tady se těžko někdo chytí. (odpověď: Je jedno, jak se rozhodnu)
-
A vidíte, někdo se přeci jen chytil :-) Ale máte pravdu, letadlo bylo lepší.
-
-
Někdy prostě nevíte proč zrovna ta karta se vám na žačátku líbila, ale byla ta "vaše", nedokážete to vysvětlit, ale to riziko, že se zmílíte je u obou stejné... někdy je prostě potřeba riskovat jinak byste takhle daleko nikdy nebyli a změnit názor jen kvůli vetšímu napětí, bych si asi neodpustila, takže ta první je pro mě v tu chvíli prostě ta pravá.
-
Ani ženská intuice není to pravé...
-
-
Vždy si stojím za svým.
-
Žolík bude vlevo
-
Prostě logicky
Všem čtenářům děkujeme za účast. Doufáme, že se vám hádanka líbila. Po zkušenostech s letadlem počítáme s bouřlivou diskuzí a případně ještě článek doplníme o další zajímavá vysvětlení. Určitě nám taky vyčtete, že byla nejasně zadaná pravidla... Nebudeme překvapeni. Tento chyták vytrvale zaměstnává zvláště internetové diskutéry po celém světě. Proč bychom měli být stranou.
Děkuji také čtenářům za jejich kladné reakce na hádanky na Technetu! Díky i za tipy na nové hádanky. Ještě teď mi chodí e-maily o tom, že letadlo nevzlétne. Proto mě velice těší dopisy několika čtenářů, kteří píší, že po několika přečteních různých vysvětlení uznali svůj původní omyl a děkují za hádanku. Splést se může každý. Přiznat to, to je umění. A jak dokazuje dnešní hádanka, změnit názor se vyplácí.
Odkazy:
-
Monty Hall problém (Wikipedia.org, anglicky, česky)
-
Game Show Problem (anglicky)
-
Demonstrace - vyzkoušejte si přímo v prohlížeči (anglicky, místo žolíků je koza, místo esa dolary)
-
Vysvětlující obrázek od čtenáře Azazel333 (česky, místo žolíka je listové eso)
