Klávesové zkratky na tomto webu - základní­
Přeskočit hlavičku portálu


Víte, kolik matematiků je potřeba na výměnu žárovky? 0,999...

aktualizováno 
I když se známému matematickému vtipu nezasmějete, vězte, že je pravdivý. Pro matematiky nula celá devět periodických je skutečně jednička. Proč tomu tak je a proč je vlastně takové podivné číslo někdy výhodné?

Proč je žádná celá devět periodických rovno jedné? (ilustrace) | foto: Pavel Kasík - Technet.cz

Možná se budete divit, ale 0,999... se rovná 1. Matematik by řekl, že 0,999... a 1 jsou dvě reprezentace (dvě různá označení) stejného reálného čísla. Nebuďme troškaři a toto tvrzení dokažme. Ani to nebude bolet. Cestou se seznámíme s tím, jak sečíst nekonečně mnoho čísel a že takový součet vůbec nemusí být nekonečno.

Číslo 0,999... je součet jedné geometrické řady. Za řadu se v matematice označuje posloupnost čísel, která sčítáme. Geometrická řada pak je taková, kde každé následující číslo je x-krát menší než číslo předchozí. Naše geometrická řada je neobyčejně jednoduchá: začíná číslem 0,9 a x=10, neboli každé číslo je desetkrát menší než to před ním. Číselně: 0,999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + ... a takhle stále dál až do zblbnutí (do nekonečna). Všechna čísla jsou kladná, a přece je na první pohled jasné, že součet nikdy nebude nekonečno. Součet prvních dvou je 0,99, prvních tří 0,999, prvních čtyř 0,9999 atd. Součet prvních sta čísel je nula celá a sto devítek.

S nekonečnem nepracujeme „přímo“, ale oklikou, v tomto případě pomocí tzv. limity

Teď přijde asi nejtěžší krok: matematická operace limita. Už jsme si řekli, jak vypadají součty prvních dvou, tří, čtyř, sta čísel. Čím více čísel vezmeme v úvahu, tím blíž je jejich součet jedničce. Klíčové je, že se jedničce můžeme přiblížit na libovolně malou vzdálenost – stačí jen vzít do úvahy dostatečně velké množství sčítanců. A tím je splněna definice limity! Jednoduché, ne? Takže naše řada má limitu, a tou je číslo jedna. Je naprosto přirozené, že za součet naší nekonečné řady označíme tuto limitu. Přesně takhle matematikové pojímají číslo 0,999... - jako limitu řady 0,9 + 0,09 + 0,009 + ...

Řady jsou neobyčejně mocný nástroj, kterých je matematika plná. Většina lidí jistě zná Taylorovu řadu, o geometrické řadě jsme už mluvili. Kromě čísel se ovšem dají sčítat i funkce a ještě další matematické objekty. Pomocí řad funkcí jsou definované např. exponenciála, sinus a cosinus. U všech je důležité, že následující člen řady je o hodně menší než člen, který je před ním.

Nahraďte složité jednoduchým

Fyzikové milují řady a fyzika by bez řad nebyla vůbec myslitelná. Řady totiž velmi efektivně pomáhají zjednodušovat složité výpočty. Vtip je v tom, že složitou funkci můžeme často nahradit řadou funkcí jednoduchých a většinu z nich navíc zanedbat. Nezapomínejte, že vyšší členy řad jsou velmi malé!

O autorovi

Vojtěch Pleskot je zaměstnancem Johannes Gutenberg-Universitaet Mainz a pracuje na experimentu Atlas v Evropské organizaci pro jaderný výzkum CERN.

Je také jedním ze spoluzakladatelů a aktivních členů projektu Science To Go! Projekt sdružuje mladé vědce a vědkyně a jeho posláním je zpřístupnit nejnovější úspěchy přírodních věd široké veřejnosti. Je známý zejména sériemi popularizačních minipřednášek, se kterými vystupuje po celé republice.

Zanedbání, které provádíme, musíme mít ovšem pevně pod kontrolou - musí být tak malé, aby bylo menší než přesnost, se kterou jsme schopni náš výpočet experimentálně ověřit. Tak například při pohybu v těsné blízkosti povrchu Země obvykle považujeme gravitační sílu za všude stejnou (velikost i směr), přestože “správně” velikost gravitační síly se vzdáleností od Země klesá a tato síla směřuje vždy do středu Země. Toto zanedbání je výtečně použitelné např. v mnoha inženýrských aplikacích, u kterých je výška nad povrchem (např. výška budovy) dostatečně malá ve srovnání s poloměrem Země (RZ = 6378 km).

Ve fyzice nejmenších známých částic vystupuje jedna velevýznamná řada, které se říká Dysonova. Její součet nám o chování elementárních částic říká téměř všechno. Nikdo tuto řadu ovšem sečíst neumí. Přinejlepším je možné sečíst prvních čtyři až pět členů.

Už to (a ve skutečnosti ještě méně) stačí, aby vědci z CERNu tvrdili, že našli novou částici, s jistotou větší než jedna ku milionu! Snad nejpřesnějším měřením v částicové fyzice je magnetický moment elektronu. Ten je změřen s neuvěřitelnou přesností jedna ku bilionu (bilion je jednička a dvanáct nul). To je jako měřit vzdálenost Praha-Sydney s přesností na šířku vlasu. Aby teorie vydala výsledek srovnatelné přesnosti, “stačilo” přitom sečíst prvních šest členů Dysonovy řady. Jednoduché to však nebylo, fyzikům to trvalo více než 50 let...

Feynmannovy diagramy

Komplikace se sčítáním Dysonovy řady vznikají kvůli tomu, že každý další člen je mnohem mnohem složitější než člen předchozí. Každý člen se dá rozdělit do několika sčítanců, které se sice dají snadno znázornit graficky, ale jejich matematická podoba je tím složitější, k čím vyššímu členu Dysonovy řady patří. Navíc počet těchto sčítanců je pro každý vyšší člen mnohem větší než pro člen předchozí. Grafické znázornění daných sčítanců zavedl slavný americký fyzik Richard Feymann. Říká se mu Feynmannovy diagramy. Často můžete slyšet větu, že tímto počinem zpřístupnil teoretickou fyziku laikům. (Zlí jazykové ovšem říkají, že ji tím zpřístupnil experimentálním fyzikům.)

V případě magnetického momentu elektronu je první člen Dysonovy řady znázornitelný jediným Feynmannovým diagramem. Druhý člen je kupodivu také znázornitelný jedním diagramem. Ovšem člen třetí až šestý člen obsahují 7, 72, 891 a 12672 Feynmannových diagramů!

Autor:


Nejčtenější

Vdechl život zapomenuté technologii, na jeho hodiny je pořadník

Moderní digitrony jsou nádherným designovým prvkem.

Historická technologie ve zcela moderním precizním provedení. Digitronové hodiny „Nixie Clock“ Dalibora Farného slaví...

Byl to nejbohatší šlechtic své doby, teď archeologové objevili jeho hrobku

Díváte se na takzvaný radarogram. To je výstup z měření georadarem na profilu...

V následujících dnech se dozvíme, zda tušení týmu českých archeologů, že objevili dosud neznámou hrobku nejbohatšího...



Fascinující paradox: český kutil vyrábí funkční parní stroje ze skla

Skleněné parní stroje z dílny Michala Zahradníka

Michal Zahradník je český sklář osmé generace. Od roku 1991 kromě obvyklých sklářských výrobků ve své dílně vyrábí i...

Eurotank bude německo-francouzský hybrid. Demonstrátor už jezdí a střílí

EMBT je hybrid mezi tanky Leopard 2 a Leclerc

Až 5000 tanků v hodnotě 75 miliard eur by měly dle německých prognóz nakoupit v příštích 20 až 30 letech evropské...

YouTube jako továrna na peníze. Jak na tomto portálu funguje reklama?

YouTube jako továrna na peníze

Vše se točí kolem peněz a na YouTube to není jinak. Jenže když se do reklamního kolotoče zamotají morálka a etika, může...

Další z rubriky

Zrušte placení za vědecké články, vyzvali výzkumníci umělé inteligence

Výzkumníci nechtějí další „closed access“ časopis

Vydavatel jednoho z nejprestižnějších vědeckých časopisů přišel s novým titulem. Vědci z oboru strojového učení ovšem...

Stěna ohně a kyselý déšť. Výbuch islandské sopky Laki změnil klima na Zemi

Pohled do středu jednoho ze sopečných kuželů vzniklých na přibližně 27...

Výbuch islandské sopky Laki před 235 lety byl tak silný, že na mnoho let změnil klima na celé Zemi. Nad Evropu poslal...

Umělá inteligence odhadne, kdy zemřete. Lékaři ji začínají používat

Ilustrační fotografie

Chytré algoritmy se zavádějí i do medicíny. Specializovaná umělá inteligence rychle zanalyzuje anamnézu pacienta a...

Najdete na iDNES.cz