Klávesové zkratky na tomto webu - základní­
Přeskočit hlavičku portálu


Víte, kolik matematiků je potřeba na výměnu žárovky? 0,999...

aktualizováno 
I když se známému matematickému vtipu nezasmějete, vězte, že je pravdivý. Pro matematiky nula celá devět periodických je skutečně jednička. Proč tomu tak je a proč je vlastně takové podivné číslo někdy výhodné?

Proč je žádná celá devět periodických rovno jedné? (ilustrace) | foto: Pavel Kasík - Technet.cz

Možná se budete divit, ale 0,999... se rovná 1. Matematik by řekl, že 0,999... a 1 jsou dvě reprezentace (dvě různá označení) stejného reálného čísla. Nebuďme troškaři a toto tvrzení dokažme. Ani to nebude bolet. Cestou se seznámíme s tím, jak sečíst nekonečně mnoho čísel a že takový součet vůbec nemusí být nekonečno.

Číslo 0,999... je součet jedné geometrické řady. Za řadu se v matematice označuje posloupnost čísel, která sčítáme. Geometrická řada pak je taková, kde každé následující číslo je x-krát menší než číslo předchozí. Naše geometrická řada je neobyčejně jednoduchá: začíná číslem 0,9 a x=10, neboli každé číslo je desetkrát menší než to před ním. Číselně: 0,999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + ... a takhle stále dál až do zblbnutí (do nekonečna). Všechna čísla jsou kladná, a přece je na první pohled jasné, že součet nikdy nebude nekonečno. Součet prvních dvou je 0,99, prvních tří 0,999, prvních čtyř 0,9999 atd. Součet prvních sta čísel je nula celá a sto devítek.

S nekonečnem nepracujeme „přímo“, ale oklikou, v tomto případě pomocí tzv. limity

Teď přijde asi nejtěžší krok: matematická operace limita. Už jsme si řekli, jak vypadají součty prvních dvou, tří, čtyř, sta čísel. Čím více čísel vezmeme v úvahu, tím blíž je jejich součet jedničce. Klíčové je, že se jedničce můžeme přiblížit na libovolně malou vzdálenost – stačí jen vzít do úvahy dostatečně velké množství sčítanců. A tím je splněna definice limity! Jednoduché, ne? Takže naše řada má limitu, a tou je číslo jedna. Je naprosto přirozené, že za součet naší nekonečné řady označíme tuto limitu. Přesně takhle matematikové pojímají číslo 0,999... - jako limitu řady 0,9 + 0,09 + 0,009 + ...

Řady jsou neobyčejně mocný nástroj, kterých je matematika plná. Většina lidí jistě zná Taylorovu řadu, o geometrické řadě jsme už mluvili. Kromě čísel se ovšem dají sčítat i funkce a ještě další matematické objekty. Pomocí řad funkcí jsou definované např. exponenciála, sinus a cosinus. U všech je důležité, že následující člen řady je o hodně menší než člen, který je před ním.

Nahraďte složité jednoduchým

Fyzikové milují řady a fyzika by bez řad nebyla vůbec myslitelná. Řady totiž velmi efektivně pomáhají zjednodušovat složité výpočty. Vtip je v tom, že složitou funkci můžeme často nahradit řadou funkcí jednoduchých a většinu z nich navíc zanedbat. Nezapomínejte, že vyšší členy řad jsou velmi malé!

O autorovi

Vojtěch Pleskot je zaměstnancem Johannes Gutenberg-Universitaet Mainz a pracuje na experimentu Atlas v Evropské organizaci pro jaderný výzkum CERN.

Je také jedním ze spoluzakladatelů a aktivních členů projektu Science To Go! Projekt sdružuje mladé vědce a vědkyně a jeho posláním je zpřístupnit nejnovější úspěchy přírodních věd široké veřejnosti. Je známý zejména sériemi popularizačních minipřednášek, se kterými vystupuje po celé republice.

Zanedbání, které provádíme, musíme mít ovšem pevně pod kontrolou - musí být tak malé, aby bylo menší než přesnost, se kterou jsme schopni náš výpočet experimentálně ověřit. Tak například při pohybu v těsné blízkosti povrchu Země obvykle považujeme gravitační sílu za všude stejnou (velikost i směr), přestože “správně” velikost gravitační síly se vzdáleností od Země klesá a tato síla směřuje vždy do středu Země. Toto zanedbání je výtečně použitelné např. v mnoha inženýrských aplikacích, u kterých je výška nad povrchem (např. výška budovy) dostatečně malá ve srovnání s poloměrem Země (RZ = 6378 km).

Ve fyzice nejmenších známých částic vystupuje jedna velevýznamná řada, které se říká Dysonova. Její součet nám o chování elementárních částic říká téměř všechno. Nikdo tuto řadu ovšem sečíst neumí. Přinejlepším je možné sečíst prvních čtyři až pět členů.

Už to (a ve skutečnosti ještě méně) stačí, aby vědci z CERNu tvrdili, že našli novou částici, s jistotou větší než jedna ku milionu! Snad nejpřesnějším měřením v částicové fyzice je magnetický moment elektronu. Ten je změřen s neuvěřitelnou přesností jedna ku bilionu (bilion je jednička a dvanáct nul). To je jako měřit vzdálenost Praha-Sydney s přesností na šířku vlasu. Aby teorie vydala výsledek srovnatelné přesnosti, “stačilo” přitom sečíst prvních šest členů Dysonovy řady. Jednoduché to však nebylo, fyzikům to trvalo více než 50 let...

Feynmannovy diagramy

Komplikace se sčítáním Dysonovy řady vznikají kvůli tomu, že každý další člen je mnohem mnohem složitější než člen předchozí. Každý člen se dá rozdělit do několika sčítanců, které se sice dají snadno znázornit graficky, ale jejich matematická podoba je tím složitější, k čím vyššímu členu Dysonovy řady patří. Navíc počet těchto sčítanců je pro každý vyšší člen mnohem větší než pro člen předchozí. Grafické znázornění daných sčítanců zavedl slavný americký fyzik Richard Feymann. Říká se mu Feynmannovy diagramy. Často můžete slyšet větu, že tímto počinem zpřístupnil teoretickou fyziku laikům. (Zlí jazykové ovšem říkají, že ji tím zpřístupnil experimentálním fyzikům.)

V případě magnetického momentu elektronu je první člen Dysonovy řady znázornitelný jediným Feynmannovým diagramem. Druhý člen je kupodivu také znázornitelný jedním diagramem. Ovšem člen třetí až šestý člen obsahují 7, 72, 891 a 12672 Feynmannových diagramů!

Autor:



Nejčtenější

Bitcoin ztrácí. Ze 150 na 1 000 dolarů jej přitom dostal jeden člověk

(Ilustrační snímek)

Začátek třetího týdne nového roku není pro kryptoměny vůbec příznivý. Prakticky všechny ztrácejí na své hodnotě....

Odtud prý NASA vysílala falešné záběry z přistání na Měsíci

Lunar Crater

K nejbližšímu městu je to téměř 130 kilometrů. Okolo není nic než poušť a pár kusů dobytka, který se popásá na...



Prchající migy mířily na ostrov dánský. Američané jim chtěli dát letiště

MiG-15bis (s číslem 346 na přídi) na ostrově Bornholm. S letounem uprchl...

Během studené války se u Američanů vyvinula intenzivní touha po sovětských stíhačkách mig. Ne snad, že by je chtěli...

Jak ulovit patnáctku. Američané nabídli sto tisíc dolarů a marně čekali

MiG-15bis, se kterým ulétl severokorejský stíhač No Kum-sok do Jižní Koreje,...

Během korejské války chtěli Američané vypsáním vysoké finanční odměny zlákat některého z pilotů MiGu-15 k úletu na svou...

Proč na faktech nezáleží? Náš mozek panikaří a brání se cizím názorům

Souboj racionality a emocí (ilustrační foto)

Dohodnout se s tím, kdo s vámi nesouhlasí, je nesmírně těžké. Fakta budou dost možná překřičena emocionální reakcí....

Další z rubriky

Japonský astronaut nečekaně „vyrostl“ o devět centimetrů, pak se omluvil

Japonský astronaut Norishige (Norišige) Kanai

Japonský astronaut Norišige Kanai, který v současné době pobývá na Mezinárodní vesmírné stanici, uvedl, že za pouhé tři...

Trump zakázal slova „založeno na vědě“, „transgender“ nebo „diverzita“

Z rozpočtu CDC má prý zmizet spojení „založeno na vědě“

Trumpova administrativa předala americkému Centru pro kontrolu a prevenci chorob seznam zakázaných slov, která se...

Naši předci se za dob dinosaurů odvažovali ven jen v noci

Pohled na primáta tamarína vousatého (Saguinus imperator), opice z čeledi...

Nová studie potvrdila teorii, že druhohorní savci ožívali hlavně v noci. Až po vyhynutí dinosaurů na konci křídy se...

Takový normální porod
Takový normální porod

O porodu s časovým odstupem, nadhledem a snad i s vtipným podextem píše uživatelka eMimino.cz.

Najdete na iDNES.cz