Víte, kolik matematiků je potřeba na výměnu žárovky? 0,999...

aktualizováno 
I když se známému matematickému vtipu nezasmějete, vězte, že je pravdivý. Pro matematiky nula celá devět periodických je skutečně jednička. Proč tomu tak je a proč je vlastně takové podivné číslo někdy výhodné?

Proč je žádná celá devět periodických rovno jedné? (ilustrace) | foto: Pavel Kasík - Technet.cz

Možná se budete divit, ale 0,999... se rovná 1. Matematik by řekl, že 0,999... a 1 jsou dvě reprezentace (dvě různá označení) stejného reálného čísla. Nebuďme troškaři a toto tvrzení dokažme. Ani to nebude bolet. Cestou se seznámíme s tím, jak sečíst nekonečně mnoho čísel a že takový součet vůbec nemusí být nekonečno.

Číslo 0,999... je součet jedné geometrické řady. Za řadu se v matematice označuje posloupnost čísel, která sčítáme. Geometrická řada pak je taková, kde každé následující číslo je x-krát menší než číslo předchozí. Naše geometrická řada je neobyčejně jednoduchá: začíná číslem 0,9 a x=10, neboli každé číslo je desetkrát menší než to před ním. Číselně: 0,999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + ... a takhle stále dál až do zblbnutí (do nekonečna). Všechna čísla jsou kladná, a přece je na první pohled jasné, že součet nikdy nebude nekonečno. Součet prvních dvou je 0,99, prvních tří 0,999, prvních čtyř 0,9999 atd. Součet prvních sta čísel je nula celá a sto devítek.

S nekonečnem nepracujeme „přímo“, ale oklikou, v tomto případě pomocí tzv. limity

Teď přijde asi nejtěžší krok: matematická operace limita. Už jsme si řekli, jak vypadají součty prvních dvou, tří, čtyř, sta čísel. Čím více čísel vezmeme v úvahu, tím blíž je jejich součet jedničce. Klíčové je, že se jedničce můžeme přiblížit na libovolně malou vzdálenost – stačí jen vzít do úvahy dostatečně velké množství sčítanců. A tím je splněna definice limity! Jednoduché, ne? Takže naše řada má limitu, a tou je číslo jedna. Je naprosto přirozené, že za součet naší nekonečné řady označíme tuto limitu. Přesně takhle matematikové pojímají číslo 0,999... - jako limitu řady 0,9 + 0,09 + 0,009 + ...

Řady jsou neobyčejně mocný nástroj, kterých je matematika plná. Většina lidí jistě zná Taylorovu řadu, o geometrické řadě jsme už mluvili. Kromě čísel se ovšem dají sčítat i funkce a ještě další matematické objekty. Pomocí řad funkcí jsou definované např. exponenciála, sinus a cosinus. U všech je důležité, že následující člen řady je o hodně menší než člen, který je před ním.

Nahraďte složité jednoduchým

Fyzikové milují řady a fyzika by bez řad nebyla vůbec myslitelná. Řady totiž velmi efektivně pomáhají zjednodušovat složité výpočty. Vtip je v tom, že složitou funkci můžeme často nahradit řadou funkcí jednoduchých a většinu z nich navíc zanedbat. Nezapomínejte, že vyšší členy řad jsou velmi malé!

O autorovi

Vojtěch Pleskot je zaměstnancem Johannes Gutenberg-Universitaet Mainz a pracuje na experimentu Atlas v Evropské organizaci pro jaderný výzkum CERN.

Je také jedním ze spoluzakladatelů a aktivních členů projektu Science To Go! Projekt sdružuje mladé vědce a vědkyně a jeho posláním je zpřístupnit nejnovější úspěchy přírodních věd široké veřejnosti. Je známý zejména sériemi popularizačních minipřednášek, se kterými vystupuje po celé republice.

Zanedbání, které provádíme, musíme mít ovšem pevně pod kontrolou - musí být tak malé, aby bylo menší než přesnost, se kterou jsme schopni náš výpočet experimentálně ověřit. Tak například při pohybu v těsné blízkosti povrchu Země obvykle považujeme gravitační sílu za všude stejnou (velikost i směr), přestože “správně” velikost gravitační síly se vzdáleností od Země klesá a tato síla směřuje vždy do středu Země. Toto zanedbání je výtečně použitelné např. v mnoha inženýrských aplikacích, u kterých je výška nad povrchem (např. výška budovy) dostatečně malá ve srovnání s poloměrem Země (RZ = 6378 km).

Ve fyzice nejmenších známých částic vystupuje jedna velevýznamná řada, které se říká Dysonova. Její součet nám o chování elementárních částic říká téměř všechno. Nikdo tuto řadu ovšem sečíst neumí. Přinejlepším je možné sečíst prvních čtyři až pět členů.

Už to (a ve skutečnosti ještě méně) stačí, aby vědci z CERNu tvrdili, že našli novou částici, s jistotou větší než jedna ku milionu! Snad nejpřesnějším měřením v částicové fyzice je magnetický moment elektronu. Ten je změřen s neuvěřitelnou přesností jedna ku bilionu (bilion je jednička a dvanáct nul). To je jako měřit vzdálenost Praha-Sydney s přesností na šířku vlasu. Aby teorie vydala výsledek srovnatelné přesnosti, “stačilo” přitom sečíst prvních šest členů Dysonovy řady. Jednoduché to však nebylo, fyzikům to trvalo více než 50 let...

Feynmannovy diagramy

Komplikace se sčítáním Dysonovy řady vznikají kvůli tomu, že každý další člen je mnohem mnohem složitější než člen předchozí. Každý člen se dá rozdělit do několika sčítanců, které se sice dají snadno znázornit graficky, ale jejich matematická podoba je tím složitější, k čím vyššímu členu Dysonovy řady patří. Navíc počet těchto sčítanců je pro každý vyšší člen mnohem větší než pro člen předchozí. Grafické znázornění daných sčítanců zavedl slavný americký fyzik Richard Feymann. Říká se mu Feynmannovy diagramy. Často můžete slyšet větu, že tímto počinem zpřístupnil teoretickou fyziku laikům. (Zlí jazykové ovšem říkají, že ji tím zpřístupnil experimentálním fyzikům.)

V případě magnetického momentu elektronu je první člen Dysonovy řady znázornitelný jediným Feynmannovým diagramem. Druhý člen je kupodivu také znázornitelný jedním diagramem. Ovšem člen třetí až šestý člen obsahují 7, 72, 891 a 12672 Feynmannových diagramů!

Autor:


Nejčtenější

Nelíbí se mi, kam se internet vydal, říká vynálezce WWW. Chce to změnit

Tim Berners-Lee představuje vizi nového, decentralizovaného internetu...

V roce 1990 spustil první webový server a odstartoval tak revoluci. Díky němu se internet rozšířil do celého světa, do...

Mučení a vraždu novináře prý nahrály hodinky Apple. Nejspíš to bylo jinak

Apple Watch 2

Údajná vražda opozičního saúdskoarabského novináře Džamála Chášakdžího na konzulátu v Turecku vyvolává mezinárodní...



Ve věku 65 let zemřel na rakovinu Paul Allen, s Gatesem založil Microsoft

Paul Allen na snímku z prosince 2017.

Ve věku 65 letech zemřel v pondělí spoluzakladatel firmy Microsoft Paul Allen. Miliardář, filantrop a hledač lodních...

Návrat „imperialistického brouka“? Výzkumný program USA vzbudil obavy

Program „Hmyzí spojenci“ má změnit škůdce v pomocníky v zemědělství.

Skupina vědců v časopise Science varuje před možným zneužitím amerického výzkumného programu, který vyvíjí zcela nový...

Grafika snů: podrobné srovnání RTX 2080 s GTX 1080Ti

Porovnání grafických karet s čipem Nvidia GeForce RTX 2080 a GTX 1080Ti (vpravo)

Porovnali jsme novou grafickou kartu RTX 2080 s předchozí špičkou GTX 1080Ti. Výsledky jsou zajímavé a ačkoli v mnoha...

Další z rubriky

Nobelovu cenu za chemii získali tvůrci evoluční chemické revoluce

Frances Arnoldová, Geore Smith a Gregory Winter dostali Nobelovu cenu za chemii...

Nobelovu cenu za chemii pro rok 2018 získali odborníci, kteří dokázali ve zkumavce zrychlit evoluci a využít ji k...

Návrat „imperialistického brouka“? Výzkumný program USA vzbudil obavy

Program „Hmyzí spojenci“ má změnit škůdce v pomocníky v zemědělství.

Skupina vědců v časopise Science varuje před možným zneužitím amerického výzkumného programu, který vyvíjí zcela nový...

Začínal v krabičkách od krému na boty. Kardiostimulátor pomáhá už 60 let

Dva „otcové“ prvního kardiostimulátoru. Zleva: primář Ăke Senning, který vedl...

Před šedesáti lety implantovali ve Švédsku první kardiostimulátor, tedy přístroj odstraňující poruchy srdečního rytmu....

Akční letáky
Akční letáky

Všechny akční letáky na jednom místě!



Najdete na iDNES.cz