Klávesové zkratky na tomto webu - základní­
Přeskočit hlavičku portálu


Matematický hlavolam: proč se kalkulačky i lidé nechají nachytat

aktualizováno 
"Běž si zopakovat základní školu," hádají se lidé v diskusích o správný výsledek příkladu: 6 ÷ 2(1 + 2). Nejasně položené zadání a různé konvence mohou zmást nejen lidi, ale i kalkulačky. Správné řešení, pokud budeme na vyřešení špatně zadaného výrazu trvat, je ale jen jedno.

Jak si různé kalkulačky poradily se stejným příkladem. | foto: Tomáš Petřík

Hádanka se dvěma kalkulačkami je velmi populární na Facebooku a dalších

Hádanka se dvěma kalkulačkami je velmi populární na Facebooku a dalších sociálních sítích. Většina diskutujících se hlasitě drží jedné, nebo druhé možnosti. Fanoušci Technetu se v tomto směru ukázali jako mnohem rozumnější než průměr.

Zdánlivě jednoduchý matematický příklad koluje po internetu v mnoha verzích. Diskutuje se o něm na vtípkových webech (a to velice často), na Facebooku i na odbornějších fórech.

6 ÷ 2(1 + 2) = ?

Řešení příkladu je v jádru jednoduché: stačí následovat základní pravidla. Jako první vyřešíme výraz v závorce, tedy 1 + 2 je 3, a přepíšeme příklad jako 6 ÷ 2(3).

"Dál začíná drobet zmatek," vysvětluje Petr Habala, profesor matematiky na FEL ČVUT v Praze. "Dělení a násobení mají z matematického hlediska stejnou prioritu, takže matematik by vždy napsal buď 6/[2*3], nebo [6/2]*3. Nejlepší odpověď tedy zní, že je nejasné zadání," zdůrazňuje Habala. "Z mého pohledu matematika je tím problém vyřešen."

To ale neznamená, že by nešlo najít řešení, které dá alespoň částečně podloženou odpověď. "Existuje pravidlo, které sice není všeobecně přijímané, ale je poměrně rozšířené. Stanoví, že operace o stejné prioritě se provádějí zleva doprava."

Správné řešení příkladu 6 ÷ 2(1 + 2) =

Správné řešení příkladu 6 ÷ 2(1 + 2) =? Tři různé postupy ukazují různý způsob vyjádření toho, že operace se stejnou prioritou řešíme zleva doprava. Řešení (a) ukazuje přepsání 6/2 do zlomku, (b) k upřesnění pořadí využívá závorky a (c) ukazuje distribuci násobení závorkou.

Při dodržení pravidla se z příkladu stane (6/2) * 3 = 9. "Pokud už někdo chce chybně zadanou otázku řešit, pak jediná rozumná odpověď je právě tato," uzavírá matematik.

Proč jsou ostatní výsledky chybné?

Ti, co obhajují správnost výsledku "1" (anebo dokonce jiných výsledků), ale také mají své argumenty. Tím nejčastějším je jakýsi podvědomý pocit, že závorka má přednost, a tak by se to násobení u závorky mělo dělat dřív.

Tomuto pravidlu se říká "implied multiplication" a některé kalkulačky nebo matematické programy se jím řídí. Například některé modely kalkulaček Texas Instruments upřednostňovaly "implikované násobení" (číslo napsané před závorkou) před násobením explicitním (kde je přímo uvedeno znaménko krát). Dělají to údajně proto, aby usnadnily zápis výrazů. Jde ale o konvenci jednotlivých výrobců, nikoli o obecnou matematickou zvyklost.

Špatné postupy při řešení příkladu 6 ÷ 2(1 + 2) = ?. Chybné postupy ukazují

Špatné postupy při řešení příkladu 6 ÷ 2(1 + 2) = ?. Chybné postupy ukazují špatný přepis do zlomku (a) bez respektování pořadí, případně řešení násobení zprava doleva (b). Kuriozitou je pokus o řešení, které "rozdistribuuje dvojnásobení závorkou", ale vzápětí na všechny závorky zapomene a přijde s naprosto nečekaným výsledkem sedm.

Proč je hádanka tak populární a hádky tak sveřepé?

Letadlo na pásu

Podobně kontroverzní a podobně virální hádanka: vzlétne letadlo z běžícího pásu. O správnosti odpovědi jsou někteří lidé schopní na internetu diskutovat donekonečna.

Matematika nabízí mnoho zatím nevyřešených problémů, na některé z nich jsou vypsané milionové odměny. Přestože tyto problémy mohou fascinovat tisíce matematiků po celém světě, v žádném případě nemají takový virální potenciál. Kdo by je šířil, kdo by na ně klikal, vždyť všem musí být předem jasné, že si tu skoro nikdo neškrtne.

Ale výraz 6 ÷ 2(1 + 2) = ? působí na první pohled jednoduše. Každému je jasné, že jej může (ba musí) vyřešit i žák prvního stupně základní školy. Poučku o závorkách si pamatuje každý. Problém je, že někdo si ji vykládá poněkud volněji a pokusí se pomocí "přednosti závorek" vyřešit nejasnost, která je v příkladu obsažena. A to i tehdy, když vztahuje přednost závorek tam, kam nemá, tedy směrem ven.

S příkladem si poradí i Google...

S příkladem si poradí i Google.

a Wolfram Alpha také

A Wolfram Alpha také

Špatný výsledek podpořený kalkulačkou, tedy přístrojem, kterému jsme zvyklí důvěřovat, nejistotu ještě podpoří. Oba tábory mají tedy zdánlivě "potvrzeno od vyšší autority", že jejich řešení je správné. K tomu přidejme typickou dynamiku internetových diskuzí, kde každý je expert, urážky jsou po ruce, pohrdání je základní modus operandi a empatie je cizí slovo...

Přestože je řešení relativně jednoduché, udělat v něm chybu je stejně snadné. Zato přiznat chybu je v internetových diskuzích evidentně takřka nemožné.

Autor:


Nejčtenější

Ve dveřích se ohlédl a usmál. Na co nezapomene česká prokurátorka v Haagu

Anna Richterová v době, kdy pracovala pro tribunál v Den Haagu. Snímek je z...

Prokurátorka Anna Richterová je jedinou Češkou, která pracovala u mezinárodního tribunálu pro vyšetřování zločinů v...

Kennedyho sestru Rosemary zničili ambiciozní rodiče lobotomií

Kennedyho sestru zničili ambiciozní rodiče lobotomií

13. září 1918 se narodila Rosemary Kennedyová, sestra prezidenta Johna Fitzgeralda Kennedyho. Od dětství s ní byly...



Zelená Sahara, o hodinu delší den a rozpad Afriky. Co čeká naši planetu?

Budoucnost

Na základě současných poznatků dokážou vědci odhadnout, co se stane v daleké budoucnosti. Připravili jsme pro vás výběr...

Vyřešil jsem nejslavnější záhadu, tvrdí devadesátiletý britský matematik

Britský matematik Michael Atiyah (2018)

Britsko-libanonský matematik Michael Atiyah tvrdí, že našel důkaz jednoho z nejslavnějších nevyřešených matematických...

Lákavá návnada. Jak se ruská agentka přibližovala k Trumpovi

Marija Butinová (19. 7. 2018)

Vyšetřování vlivu Moskvy na poslední americké volby se dostalo k zajímavému odhalení. Ruská agentka se podle něj...

Další z rubriky

Oblouková lampa je výhodnější než žárovka. Jak to viděli před sto lety

Veliký elektrický reflektor o svítivosti 80 000 svíček na světové výstavě v...

Rozmach elektrického osvětlení na přelomu 19. a 20. století znamenal pro veřejnost, která s elektřinou měla málo...

Pohozeni v jednom hrobě. Po 400 letech vracíme dívce a chlapci tvář

Odhalení podoby dvou chlapců a devčete

Na začátku byla náhoda. Stavba rodinného bazénu u domku v Táboře odhalila kosterní pozůstatky tří lidí. V těchto dnech,...

Byli u vývoje léku proti HIV. Netušili, že to z nich udělá mecenáše vědy

Hana a Dalimil Dvořákovi

Zprvu to bylo příjemné přilepšení k platu, postupně licenční příjmy za jejich podíl na vývoji léků proti viru HIV...

Najdete na iDNES.cz