Matematický hlavolam: proč se kalkulačky i lidé nechají nachytat

aktualizováno 
"Běž si zopakovat základní školu," hádají se lidé v diskusích o správný výsledek příkladu: 6 ÷ 2(1 + 2). Nejasně položené zadání a různé konvence mohou zmást nejen lidi, ale i kalkulačky. Správné řešení, pokud budeme na vyřešení špatně zadaného výrazu trvat, je ale jen jedno.

Jak si různé kalkulačky poradily se stejným příkladem. | foto: Tomáš Petřík

Hádanka se dvěma kalkulačkami je velmi populární na Facebooku a dalších

Hádanka se dvěma kalkulačkami je velmi populární na Facebooku a dalších sociálních sítích. Většina diskutujících se hlasitě drží jedné, nebo druhé možnosti. Fanoušci Technetu se v tomto směru ukázali jako mnohem rozumnější než průměr.

Zdánlivě jednoduchý matematický příklad koluje po internetu v mnoha verzích. Diskutuje se o něm na vtípkových webech (a to velice často), na Facebooku i na odbornějších fórech.

6 ÷ 2(1 + 2) = ?

Řešení příkladu je v jádru jednoduché: stačí následovat základní pravidla. Jako první vyřešíme výraz v závorce, tedy 1 + 2 je 3, a přepíšeme příklad jako 6 ÷ 2(3).

"Dál začíná drobet zmatek," vysvětluje Petr Habala, profesor matematiky na FEL ČVUT v Praze. "Dělení a násobení mají z matematického hlediska stejnou prioritu, takže matematik by vždy napsal buď 6/[2*3], nebo [6/2]*3. Nejlepší odpověď tedy zní, že je nejasné zadání," zdůrazňuje Habala. "Z mého pohledu matematika je tím problém vyřešen."

To ale neznamená, že by nešlo najít řešení, které dá alespoň částečně podloženou odpověď. "Existuje pravidlo, které sice není všeobecně přijímané, ale je poměrně rozšířené. Stanoví, že operace o stejné prioritě se provádějí zleva doprava."

Správné řešení příkladu 6 ÷ 2(1 + 2) =

Správné řešení příkladu 6 ÷ 2(1 + 2) =? Tři různé postupy ukazují různý způsob vyjádření toho, že operace se stejnou prioritou řešíme zleva doprava. Řešení (a) ukazuje přepsání 6/2 do zlomku, (b) k upřesnění pořadí využívá závorky a (c) ukazuje distribuci násobení závorkou.

Při dodržení pravidla se z příkladu stane (6/2) * 3 = 9. "Pokud už někdo chce chybně zadanou otázku řešit, pak jediná rozumná odpověď je právě tato," uzavírá matematik.

Proč jsou ostatní výsledky chybné?

Ti, co obhajují správnost výsledku "1" (anebo dokonce jiných výsledků), ale také mají své argumenty. Tím nejčastějším je jakýsi podvědomý pocit, že závorka má přednost, a tak by se to násobení u závorky mělo dělat dřív.

Tomuto pravidlu se říká "implied multiplication" a některé kalkulačky nebo matematické programy se jím řídí. Například některé modely kalkulaček Texas Instruments upřednostňovaly "implikované násobení" (číslo napsané před závorkou) před násobením explicitním (kde je přímo uvedeno znaménko krát). Dělají to údajně proto, aby usnadnily zápis výrazů. Jde ale o konvenci jednotlivých výrobců, nikoli o obecnou matematickou zvyklost.

Špatné postupy při řešení příkladu 6 ÷ 2(1 + 2) = ?. Chybné postupy ukazují

Špatné postupy při řešení příkladu 6 ÷ 2(1 + 2) = ?. Chybné postupy ukazují špatný přepis do zlomku (a) bez respektování pořadí, případně řešení násobení zprava doleva (b). Kuriozitou je pokus o řešení, které "rozdistribuuje dvojnásobení závorkou", ale vzápětí na všechny závorky zapomene a přijde s naprosto nečekaným výsledkem sedm.

Proč je hádanka tak populární a hádky tak sveřepé?

Letadlo na pásu

Podobně kontroverzní a podobně virální hádanka: vzlétne letadlo z běžícího pásu. O správnosti odpovědi jsou někteří lidé schopní na internetu diskutovat donekonečna.

Matematika nabízí mnoho zatím nevyřešených problémů, na některé z nich jsou vypsané milionové odměny. Přestože tyto problémy mohou fascinovat tisíce matematiků po celém světě, v žádném případě nemají takový virální potenciál. Kdo by je šířil, kdo by na ně klikal, vždyť všem musí být předem jasné, že si tu skoro nikdo neškrtne.

Ale výraz 6 ÷ 2(1 + 2) = ? působí na první pohled jednoduše. Každému je jasné, že jej může (ba musí) vyřešit i žák prvního stupně základní školy. Poučku o závorkách si pamatuje každý. Problém je, že někdo si ji vykládá poněkud volněji a pokusí se pomocí "přednosti závorek" vyřešit nejasnost, která je v příkladu obsažena. A to i tehdy, když vztahuje přednost závorek tam, kam nemá, tedy směrem ven.

S příkladem si poradí i Google...

S příkladem si poradí i Google.

a Wolfram Alpha také

A Wolfram Alpha také

Špatný výsledek podpořený kalkulačkou, tedy přístrojem, kterému jsme zvyklí důvěřovat, nejistotu ještě podpoří. Oba tábory mají tedy zdánlivě "potvrzeno od vyšší autority", že jejich řešení je správné. K tomu přidejme typickou dynamiku internetových diskuzí, kde každý je expert, urážky jsou po ruce, pohrdání je základní modus operandi a empatie je cizí slovo...

Přestože je řešení relativně jednoduché, udělat v něm chybu je stejně snadné. Zato přiznat chybu je v internetových diskuzích evidentně takřka nemožné.

Autor:

Nejčtenější

Alza to zase zkouší. Zákazníkům do košíku „tajně“ přihodí nechtěné věci

Stačí chvilka nepozornosti a obchod vám do košíku přidá něco, co jste si...

Před odesláním objednávky v e-shopu si dobře zkontrolujte obsah košíku. Je možné, že vám tam bez vašeho vědomí něco...

Alza dostala pokutu za přidávání zboží do košíku. A není jediná

Česká obchodní inspekce pravomocně rozhodla o udělení pokuty pro společnost...

Společnost Alza.cz bude muset zaplatit 150 tisíc korun za to, že zákazníkům přidávala do košíku zboží, na které sami...

Známe tvář mrtvé dívky z obleženého Tábora. Kdy zemřela, napověděla mince

Zrekonstruovaná podoba dívky (18 až 19 let) nalezené ve společném hrobě v...

Téměř 400 let ležela v zapomenutém společném hrobě, než její pozůstatky při stavbě rodinného bazénu náhodou objevili. V...

Vyzkoušeli jsme nejlepší způsob, jak sledovat televizi. Poradíme i vám

Test set-top-boxů pro televizi přes internet

Nezajímá vás kdy pořad jde, ani kolik je v něm reklam. Pustíte si jej kdykoli během i po odvysílání a reklamní bloky...

Poslechněte si vítr na Marsu. Je to první nahrávka zvuku z této planety

Jak zni vitr na Marsu

Sonda InSight, která na konci listopadu přistála na Marsu, poslala vůbec první nahrávku zvuku z této planety.

Další z rubriky

Okřídlení géniové. Vrány si při pokusu zvládly vyrobit složené nástroje

Vrány se ukazují jako stále chytřejší a chytřejší.

Nový experiment naznačuje, že bychom měli přehodnotit rčení chytrý jako liška na chytrý jako vrána. Skupina...

Proč jsem „vylepšil“ děti? Čínský vědec vysvětlil pokus o úpravu DNA

Che Ťien-kchuej během diskuse po jeho přednášce na konferenci v Hongkongu 28....

Čínský vědec Che Ťien-kchuej na veřejnosti poprvé obhajoval své pokusy o úpravu DNA nenarozených dětí. Kolegy však...

Československá vlajka mohla vypadat jako americká, řekl expert

Expert na vlajky Aleš Brožek v diskusním pořadu iDNES.cz Rozstřel (16....

V uctívání vlajky nepatří Češi právě k premiantům. Tu svou mají nejraději Dánové. Správnou vlajku by mělo být schopné...

Najdete na iDNES.cz