Matematický hlavolam: proč se kalkulačky i lidé nechají nachytat

"Běž si zopakovat základní školu," hádají se lidé v diskusích o správný výsledek příkladu: 6 ÷ 2(1 + 2). Nejasně položené zadání a různé konvence mohou zmást nejen lidi, ale i kalkulačky. Správné řešení, pokud budeme na vyřešení špatně zadaného výrazu trvat, je ale jen jedno.

Jak si různé kalkulačky poradily se stejným příkladem. | foto: Tomáš Petřík

Hádanka se dvěma kalkulačkami je velmi populární na Facebooku a dalších sociálních sítích. Většina diskutujících se hlasitě drží jedné, nebo druhé možnosti. Fanoušci Technetu se v tomto směru ukázali jako mnohem rozumnější než průměr.

Zdánlivě jednoduchý matematický příklad koluje po internetu v mnoha verzích. Diskutuje se o něm na vtípkových webech (a to velice často), na Facebooku i na odbornějších fórech.

6 ÷ 2(1 + 2) = ?

Řešení příkladu je v jádru jednoduché: stačí následovat základní pravidla. Jako první vyřešíme výraz v závorce, tedy 1 + 2 je 3, a přepíšeme příklad jako 6 ÷ 2(3).

"Dál začíná drobet zmatek," vysvětluje Petr Habala, profesor matematiky na FEL ČVUT v Praze. "Dělení a násobení mají z matematického hlediska stejnou prioritu, takže matematik by vždy napsal buď 6/[2*3], nebo [6/2]*3. Nejlepší odpověď tedy zní, že je nejasné zadání," zdůrazňuje Habala. "Z mého pohledu matematika je tím problém vyřešen."

To ale neznamená, že by nešlo najít řešení, které dá alespoň částečně podloženou odpověď. "Existuje pravidlo, které sice není všeobecně přijímané, ale je poměrně rozšířené. Stanoví, že operace o stejné prioritě se provádějí zleva doprava."

Správné řešení příkladu 6 ÷ 2(1 + 2) =? Tři různé postupy ukazují různý způsob vyjádření toho, že operace se stejnou prioritou řešíme zleva doprava. Řešení (a) ukazuje přepsání 6/2 do zlomku, (b) k upřesnění pořadí využívá závorky a (c) ukazuje distribuci násobení závorkou.

Při dodržení pravidla se z příkladu stane (6/2) * 3 = 9. "Pokud už někdo chce chybně zadanou otázku řešit, pak jediná rozumná odpověď je právě tato," uzavírá matematik.

Proč jsou ostatní výsledky chybné?

Ti, co obhajují správnost výsledku "1" (anebo dokonce jiných výsledků), ale také mají své argumenty. Tím nejčastějším je jakýsi podvědomý pocit, že závorka má přednost, a tak by se to násobení u závorky mělo dělat dřív.

Tomuto pravidlu se říká "implied multiplication" a některé kalkulačky nebo matematické programy se jím řídí. Například některé modely kalkulaček Texas Instruments upřednostňovaly "implikované násobení" (číslo napsané před závorkou) před násobením explicitním (kde je přímo uvedeno znaménko krát). Dělají to údajně proto, aby usnadnily zápis výrazů. Jde ale o konvenci jednotlivých výrobců, nikoli o obecnou matematickou zvyklost.

Špatné postupy při řešení příkladu 6 ÷ 2(1 + 2) = ?. Chybné postupy ukazují špatný přepis do zlomku (a) bez respektování pořadí, případně řešení násobení zprava doleva (b). Kuriozitou je pokus o řešení, které "rozdistribuuje dvojnásobení závorkou", ale vzápětí na všechny závorky zapomene a přijde s naprosto nečekaným výsledkem sedm.

Proč je hádanka tak populární a hádky tak sveřepé?

Letadlo na pásu

Podobně kontroverzní a podobně virální hádanka: vzlétne letadlo z běžícího pásu. O správnosti odpovědi jsou někteří lidé schopní na internetu diskutovat donekonečna.

Matematika nabízí mnoho zatím nevyřešených problémů, na některé z nich jsou vypsané milionové odměny. Přestože tyto problémy mohou fascinovat tisíce matematiků po celém světě, v žádném případě nemají takový virální potenciál. Kdo by je šířil, kdo by na ně klikal, vždyť všem musí být předem jasné, že si tu skoro nikdo neškrtne.

Ale výraz 6 ÷ 2(1 + 2) = ? působí na první pohled jednoduše. Každému je jasné, že jej může (ba musí) vyřešit i žák prvního stupně základní školy. Poučku o závorkách si pamatuje každý. Problém je, že někdo si ji vykládá poněkud volněji a pokusí se pomocí "přednosti závorek" vyřešit nejasnost, která je v příkladu obsažena. A to i tehdy, když vztahuje přednost závorek tam, kam nemá, tedy směrem ven.

S příkladem si poradí i Google.

A Wolfram Alpha také

Špatný výsledek podpořený kalkulačkou, tedy přístrojem, kterému jsme zvyklí důvěřovat, nejistotu ještě podpoří. Oba tábory mají tedy zdánlivě "potvrzeno od vyšší autority", že jejich řešení je správné. K tomu přidejme typickou dynamiku internetových diskuzí, kde každý je expert, urážky jsou po ruce, pohrdání je základní modus operandi a empatie je cizí slovo...

Přestože je řešení relativně jednoduché, udělat v něm chybu je stejně snadné. Zato přiznat chybu je v internetových diskuzích evidentně takřka nemožné.

Autor:
  • Nejčtenější

Vyzkoušeli jsme podvod z Aliexpressu. Může vás přijít draho, i po letech

v diskusi je 110 příspěvků

14. března 2024

Nakoupili jsme na Aliexpressu a pěkně se spálili. Jednu USB paměť, dvě externí SSD a jeden externí...

Nejsilnější raketa úspěšně prošla prvním testovacím letem do vesmíru

v diskusi je 138 příspěvků

14. března 2024  12:12,  aktualizováno  15:31

Společnost SpaceX poprvé dostala svůj Starship do vesmírného prostoru. Po dvou předchozích...

{NADPIS reklamního článku dlouhý přes dva řádky}

{POPISEK reklamního článku, také dlouhý přes dva a možná dokonce až tři řádky, končící na tři tečky...}

Svět uznal nároky Beneše. Československo vyhrálo spor s Polskem o Javorinu

v diskusi je 42 příspěvků

12. března 2024

Před 100 lety se Československo dočkalo mezinárodního uznání ve sporu s Polskem o Javorinu....

Tato novinka ve vyhledávání Googlu lidi pěkně vytáčí. Máme řešení

v diskusi je 153 příspěvků

12. března 2024  10:45

Jedna z novinek, kterou přineslo evropské Nařízení o digitálních trzích, je změna v tom, jak Google...

{NADPIS reklamního článku dlouhý přes dva řádky}

{POPISEK reklamního článku, také dlouhý přes dva a možná dokonce až tři řádky, končící na tři tečky...}

Polopás není polovičaté řešení. Třetí říše byla mistrem v oboru

v diskusi je 9 příspěvků

18. března 2024

Druhá světová válka byla zlatým věkem polopásových vozidel. Vyráběli je především Němci a...

VIDEO: Střílej po mně! Kameraman natočil téměř celý útok v centru Prahy

Premium Ve čtvrtek zemřelo rukou střelce Davida K. 14 obětí, 25 lidí je zraněných, z toho deset lidí těžce. Jedním z prvních na...

Máma ji dala do pasťáku, je na pervitinu a šlape. Elišku čekají Vánoce na ulici

Premium Noční Smíchov. Na zádech růžový batoh, v ruce svítící balónek, vánoční LED svíčky na baterky kolem krku. Vypadá na...

Test světlých lahvových ležáků: I dobré pivo zestárne v obchodě mnohem rychleji

Premium Ležáky z hypermarketů zklamaly. Jestli si chcete pochutnat, běžte do hospody. Sudová piva totiž dopadla před časem...

Kuličková myš, VHS a další technologické skvosty nedávné minulosti

v diskusi je 5 příspěvků

19. března 2024

S některými bylo možné se běžně setkat ještě před deseti lety, jiné je možné koupit a používat...

Od Amazonu po Voyo. Velký test streamovacích služeb našel obří rozdíly

v diskusi je 7 příspěvků

19. března 2024

Premium V jedné můžete vybírat z dvou set filmů a seriálů, ve druhé z osmi tisíc. V jedné je speciální...

Zemřel astronaut Stafford, který si ve vesmíru „podal“ ruku s Leonovem

v diskusi nejsou příspěvky

18. března 2024  19:10

Ve věku 93 let po dlouhé nemoci zemřel někdejší astronaut Thomas Stafford, který byl zapojený do...

Apple přidá do svých zařízení generativní AI, využije k tomu Google

v diskusi nejsou příspěvky

18. března 2024  13:34

Apple jako jedna z mála technologických společností nezachytil příchod vlny generativní umělé...

Zvolte jméno roku 2024 a vyhrajte Nutrilon a Hami v celkové hodnotě 130.000 Kč
Zvolte jméno roku 2024 a vyhrajte Nutrilon a Hami v celkové hodnotě 130.000 Kč

Každý týden můžete získat zajímavé balíčky od značek Nutrilon a Hami v celkové hodnotě 130.000 Kč. Hrajte s námi a získejte hlavní výhru, balíček s...

Nutný výchovný pohlavek, souhlasí Bouček i Havlová s přerušením projevu na Lvu

Moderátor Libor Bouček ostře zareagoval na kauzu ohledně délky proslovu režisérky Darji Kaščejevové na předávání cen...

Švábi, vši a nevychované děti. Výměna manželek skončila už po pěti dnech

Nová Výměna manželek trvala jen pět dní, přesto přinesla spoustu vyhrocených situací. Martina ze Znojma se pokoušela...

Vyzkoušeli jsme podvod z Aliexpressu. Může vás přijít draho, i po letech

Nakoupili jsme na Aliexpressu a pěkně se spálili. Jednu USB paměť, dvě externí SSD a jeden externí HDD. Ve třech...

Chtěli, abych se vyspala s Baldwinem kvůli jeho výkonu, říká Sharon Stone

Herečka Sharon Stone (66) jmenovala producenta, který jí řekl, aby se vyspala s hercem Williamem Baldwinem (61). Měla...

Konec nadvlády programátorů. Pozic ubývá, na jednu se hlásí stále víc lidí

Premium Ochota firem splnit uchazečům skoro jakýkoli požadavek a velmi nízká konkurence. Tak by se ještě nedávno dala definovat...