„Je to jen bonus!“ Slavný matematik největší záhadu vyřešil jinou záhadou

  21:10aktualizováno  25. září 20:09
Devadesátiletý matematik, sir Michael Atiyah, vystoupil před odbornou veřejností, aby představil své řešení tzv. Riemannovy hypotézy. Odolává pokusům o důkaz už téměř 160 let. A zřejmě ještě nějakou dobu vzdorovat bude. Devadesátiletý matematik totiž místo jednoduchého důkazu dal svým kolegům domácí úkol.

„Kdo dokáže Riemannovu hypotézu, stane se slavným,“ uvedl během své přednášky jen tak mezi řečí Michael Atiyah, devadesátiletý britský matematik. Těžko jej však může někdo podezírat z toho, že usiluje o slávu. Atiah patří mezi nejuznávanější matematiky současnosti. Je držitelem dvou nejvýznamnějších ocenění této královny věd: Fieldsovy medaile (1966) a Abelovy ceny (2004).

Snad proto Atiyah vzápětí dodal: „Pokud už však jste slavným, tak se takovým důkazem stanete nechvalně proslulým.“ Celkem správně tedy předpokládal skeptickou reakci matematické komunity na to, co v abstraktu své přednášky nazval „jednoduchým důkazem“ slavné Riemannovy hypotézy (na přednášku jsme upozornili v článku Britský matematik tvrdí, že vyřešil nejslavnější záhadu).

Záznam přednášky Sira Michaela Atiyaha (HLF, anglicky):

„Proč ještě nebyla Riemannova hypotéza vyřešena? Nikdo nevěří žádným z těch takzvaných důkazů, které se za ta léta objevily,“ podotkl z kraje přednášky Atiyah. „Když řeknete, že jste využil nějaké již známé metody a jen jste to lépe nakombinovali, odpoví vám, že je to nesmysl, kdyby to bylo tak jednoduché, už to vyřešil někdo chytřejší než vy. Ale když řeknete, že jste použili radikálně nový přístup, tak si řeknou: Dobře, to si poslechneme.“

Opravdu stručný úvod do Riemannovy hypotézy

Riemannova funkce zeta

Riemannova funkce zeta

Riemannova hypotéza fascinuje a trápí matematický svět již od poloviny 19. století. Vztahuje se k určitým speciálním výsledkům Riemannovy funkce zeta, která počítá součet nekonečných řad.

Třeba zeta pro číslo 2 je součet nekonečné řady 1 + 1/(22) + 1/(3²) + 1/(4²) + 1/(5²)..., což je nekonečná řada, jejíž součet se však blíží (konverguje) ke konečnému číslu: 1,645... Podobně pak pro číslo 3 je zeta 1 + 1/(23) + 1/(3³) + 1/(4³) + 1/(5³)...

Takto lze spočítat hodnoty funkce zeta pro čísla větší než jedna. Ale je to mnohem složitější. Německý matematik Bernhard Riemann (1826 - 1866) ukázal, že funkce zeta dává smysl i pro čísla nižší než jedna a dokonce i pro čísla komplexní (která mají reálnou a imaginární část). Tam se tento součet nekonečné řady posčítat nedá, alespoň ne ve smyslu, jak o součtu běžně mluvíme (více o součtech řad a Riemannově hypotéze v tomto českém videu).

Co s tím? Pro některé výpočty (a tady nás nechytejte moc za slovo, zde se vydáváme za hranice našeho chápání, pozn. red.) mohou matematici „protáhnout“ výsledky z jedné části plochy na druhou, tzv. analytické rozšíření funkce. Což funguje, pokud zároveň z tohoto protažení neděláme nesmyslné závěry, jinými slovy, musíme si pamatovat, že při protažení funkce jsme se dopustili jistého triku. Třeba zeta pro -1 po takovémto analytickém rozšíření nabývá hodnoty -1/12, přestože jde vlastně o součet všech přirozených čísel, který samozřejmě není konečný.

Riemannova funkce zeta má triviální kořeny v záporných sudých číslech. Netriviální nuly jsou pak na přímce 1/2. Proč, to je otázka za milion dolarů.

Riemannova funkce zeta má tedy výsledek pro jakékoli komplexní číslo (kromě jedničky). A tady to začíná být teprve zajímavé. Tedy alespoň pro matematiky, kteří se věnují teorii čísel. Pro některá čísla vyjde Riemannova zeta funkce nula a tyto nuly (kořeny) jsou buď triviálně předvídatelné (všechna sudá záporná čísla -2, -4, -6 atd.), nebo naopak naprosto nepředvídatelné. A právě tyto „netriviální“ kořeny leží z nějakého důvodu všechny na přímce, jejíž reálná hodnota je rovna 1/2. 

Vizuální pohled na Riemannovu zeta funkci (3Blue1Brown, anglicky):

Tedy zatím zde leží všechny známé netriviální kořeny. A to je právě podstatou Riemannovy hypotézy. Ta tvrdí, že na přímce 1/2 leží všechny netriviální nuly. Stačilo by najít jediný takový kořen, který leží jinde, a hypotéza by přestala platit. Známe už miliardy netriviálních kořenů (nul) a všechny leží na přímce 1/2 (přímka je kolmá na osu x, na obrázku je znázorněna přerušovaně).

Riemannova funkce zeta - výsledky (reálná část) znázorněné barvou. Tmavě modrá...

Riemannova funkce zeta - výsledky (absolutní hodnota) znázorněné barvou. Tmavě modrá ukazuje nulové kořeny.

Problém patří mezi tzv. Problémy tisíciletí, vyřešit se jej za téměř 160 let pokusily již tisíce matematiků a zatím neúspěšně. Za vyřešení v roce 2000 vypsal Clay Mathematics Institute odměnu ve výši milionu dolarů. Právě o tuto částku se nyní uchází Michael Atiyah. 

Atiyah se k řešení Riemannovy hypotézy dostal oklikou

„Já jsem nezačal tím, že bych chtěl vyřešit Riemannovu hypotézu,“ řekl během své přednášky, téměř omluvně, matematik britsko-libanonského původu. „Sotva jsem věděl, co to Riemannova hypotéza je. Zkoumal jsem něco úplně jiného. Zkoumal jsem problémy fyzikální. Riemannova hypotéza je jen bonus.“

24.září 2018 v 10:19, příspěvek archivován: 24.září 2018 v 20:06

Atiyah didn't set out to prove the Riemann Hypothesis. He was trying to derive the fine structure constant (yes, that thing from physics). The RH was just a bonus. #HLF18 https://t.co/vaPpOgot19

Atiyah ve své studii (kterou zaslal k publikaci v roce 2018 do prestižního britského vědeckého časopisu, ale zatím neprošla recenzním řízením) zkoumal tzv. konstantu jemné struktury, která se týká elektromagnetické interakce a hraje důležitou roli v kvantové fyzice. Fyzikové umí tuto konstantu naměřit, ale nevědí, jak ji spočítat „s libovolnou přesností“.

Slavný fyzik Richard Feynman označil tuto konstantu za jednu z největších záhad moderní fyziky. A Michael Atiyah se domnívá, že našel způsob, jak tuto konstantu vyjádřit elegantněji.

Fine Structure Constant (Atiyah, 2018)

Fine Structure Constant (Atiyah, 2018)

„A ve chvíli, kdy Atiyah našel konstantu jemné struktury, dal nohy nahoru, otevřel šampaňské a zjistil, že omylem dokázal Riemannovu hypotézu,“ glosoval přednášku na Twitteru astronom Markus Pössel z Heidelbergu. A skutečně, na samotný „důkaz Riemannovy hypotézy“ pak Atiyahovi stačil jeden jediný slajd.

24.září 2018 v 10:24, příspěvek archivován: 24.září 2018 v 20:14

Incidentally, here is the proof. You're welcome. #HLF18 https://t.co/cXe2mPyFfB

K důkazu tedy Atiyah využívá tzv. důkaz sporem. Předpokládá, že je pravda něco, co by hypotézu popřelo (kořen mezi nulou a jedničkou, ale nikoli na přímce 1/2), a pak ukáže, že by takový předpoklad vedl ke sporu, čímž je důkaz proveden.

Tedy - je proveden, pokud jde skutečně o spor. A o tom ani námi oslovení matematici nejsou přesvědčeni.

Kdo je ten Todd a proč bychom mu měli věřit?

Hlavní problém s důkazem se zdá být v tom, že Atiyah neukázal nějakou evidentní souvislost odkazovaných fyzikálních konceptů s Riemannovou funkcí zeta.

„Vypadá to neuvěřitelně,“ řekl sám Atiyah, „ale tvrdím, že všechna důležitá práce byla odvedena před sedmdesáti lety.“ Odkazuje se na práci Johna von Neumanna a Friedricha Hirzebrucha.

Přednáška neobsahovala samotný důkaz, jen náznak možného důkazu. Chyběly mezikroky...

„Zatím jsem z toho neměl pocit, že by se z té přednášky dalo něco usoudit,“ je při závěrech opatrný Mirko Rokyta, proděkan pro matematickou sekci z Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy. „Ta přednáška obsahovala hodně historie a kontextu, ale přímo ten důkaz tam ukázaný nebyl. A z toho pětistránkového PDF, které na internetu koluje, to tedy také není jasné, podrobnosti tam také nejsou.“ Podle Rokyty bude potřeba, aby Atiyah poskytl matematikům další podrobnosti, které komunitě umožní důkaz prověřit.

„Jsou tam takové čtyři obecné kroky a o každém z nich by se dalo dlouho diskutovat. Ty mezikroky nejsou podložené žádným argumentem,“ dodává Rokyta.

Jeho skeptický pohled není ojedinělý. „Atiyahův důkaz se může potvrdit, nebo - a to je pravděpodobnější - se ukáže, že nikam nevede,“ píše Peter Lynch, emeritní profesor matematiky na UCD School of Mathematics and Statistics. Lynch je skeptický k použité Toddově funkci.

Atiyah si v závěru přednášky postěžoval na to, že matematický svět není myšlenkám „starších“ nakloněn, a zároveň vyslovil domněnku, že jeho nápad je příliš nový, a proto bude odmítán.

24.září 2018 v 10:34, příspěvek archivován: 24.září 2018 v 20:38

Also, Atiyah claims that people are unfairly dismissive of new ideas - in this case, the weird infinite series of series thingy that defines the Todd function. #HLF18

Zatím je příliš brzy na to říci, zda byl důkaz skutečně nastíněn, či zda se Atiyah jen vydal do další slepé uličky, jejíž podstata se ukáže třeba až za několik let. Dalším krokem by - z pohledu vědecké komunity - měla být studie vydaná v recenzovaném časopise. Matematická komunita se zřejmě také podívá blíže na zoubek onomu fyzikálnímu propojení. „Povede spíše k tomu, že se teď bude zkoumat ta Toddova funkce a zda ji lze použít tím způsobem, který Atiyah nastínil,“ myslí si Michal Bulant, prorektor pro studium a informační technologie Masarykovy univerzity v Brně.

Důkaz nebo vyvrácení Riemannovy věty by mohlo mít dopad na počítačovou bezpečnost. Zatím je to ale v rovině spekulací...

Před představením důkazu se mluvilo o tom, že by přednáška mohla mít vliv i mimo akademickou sféru, například na kyberbezpečnost. „Důsledkem Riemannovy hypotézy je přesnější znalost rozložení prvočísel mezi ostatními čísly. Pak by to mohlo mít důsledky pro ty oblasti, kde se prvočísla používají, tedy třeba počítačová bezpečnost a šifrování,“ říká Rokyta. „To už jsou ale spekulace. Tam by ale hodně záleželo na tom důkazu, jaká matematika by pro ten důkaz byla použita.“

Okamžité důsledky pro kryptografii nebo další oblasti, kterých se Riemannova hypotéza a její souvislost s prvočísly dotýká, se zatím nekonají. Přednáška nicméně přesto ukázala, v čem spočívá krása matematiky: nečekané souvislosti. „V matematice se mohou propojit koncepty z různých oborů. Potkají se tu myšlenky napříč staletími a ze všech částí světa,“ řekl láskyplně Atiyah. Pokud se jeho teorie nepotvrdí, Atiyahův přínos matematice tento neúspěšný pokus nijak nezmenší.

Aktualizace: V článku jsme opravili informace o tzv. analytickém rozšíření funkce a upřesnili „nulové kořeny“ funkce zeta. Doplnili jsme odkazy a kontext. Doplnili jsme video se sestřihem z přednášky s českými titulky.

Autor:

Nejčtenější

Alza to zase zkouší. Zákazníkům do košíku „tajně“ přihodí nechtěné věci

Stačí chvilka nepozornosti a obchod vám do košíku přidá něco, co jste si...

Před odesláním objednávky v e-shopu si dobře zkontrolujte obsah košíku. Je možné, že vám tam bez vašeho vědomí něco...

Alza dostala pokutu za přidávání zboží do košíku. A není jediná

Česká obchodní inspekce pravomocně rozhodla o udělení pokuty pro společnost...

Společnost Alza.cz bude muset zaplatit 150 tisíc korun za to, že zákazníkům přidávala do košíku zboží, na které sami...

Známe tvář mrtvé dívky z obleženého Tábora. Kdy zemřela, napověděla mince

Zrekonstruovaná podoba dívky (18 až 19 let) nalezené ve společném hrobě v...

Téměř 400 let ležela v zapomenutém společném hrobě, než její pozůstatky při stavbě rodinného bazénu náhodou objevili. V...

Vyzkoušeli jsme nejlepší způsob, jak sledovat televizi. Poradíme i vám

Test set-top-boxů pro televizi přes internet

Nezajímá vás kdy pořad jde, ani kolik je v něm reklam. Pustíte si jej kdykoli během i po odvysílání a reklamní bloky...

Poslechněte si vítr na Marsu. Je to první nahrávka zvuku z této planety

Jak zni vitr na Marsu

Sonda InSight, která na konci listopadu přistála na Marsu, poslala vůbec první nahrávku zvuku z této planety.

Další z rubriky

Okřídlení géniové. Vrány si při pokusu zvládly vyrobit složené nástroje

Vrány se ukazují jako stále chytřejší a chytřejší.

Nový experiment naznačuje, že bychom měli přehodnotit rčení chytrý jako liška na chytrý jako vrána. Skupina...

Proč jsem „vylepšil“ děti? Čínský vědec vysvětlil pokus o úpravu DNA

Che Ťien-kchuej během diskuse po jeho přednášce na konferenci v Hongkongu 28....

Čínský vědec Che Ťien-kchuej na veřejnosti poprvé obhajoval své pokusy o úpravu DNA nenarozených dětí. Kolegy však...

Co není ze zvířete, není maso. Dobytkáři se bojí konkurence ze zkumavky

Maso ze zkumavky (ilustrační foto)

Maso z laboratoře ještě na trhu není. Ale tento okamžik se zřejmě blíží, a tak se na něj odpůrci i zastánci této...

Najdete na iDNES.cz